概収束と確率収束

何度見ても，大抵，数日後には定義すら忘れている．
そんな負の連鎖を断ち切るために，メモしておく（あくまで，自分の理解の範囲，間違ってるかもよ）．

（メモを見返す ≒ 忘れている， という反論は受けつけない）

まず，定義．

概収束

確率収束

概収束のイメージ？

X_n を関数だとおもってしまえば， 各点で X に収束している．
n → ∞ で X_n と X は同じとみなして良い（？）．

確率収束のイメージ？

X_n で X を予想しようとする，予想がはずれる <=> |X_n - X| > ε とすれば，
予想がはずれる確率が n → ∞ で 0 に収束する．

概収束と確率収束の違い？

多分，大きな違いは概収束では X_n の収束が要求されているが， 確率収束では収束が要求されていない点か．

というわけで，確率収束するが，概収束しない例を見てみる．

標本空間を [0,1] として，X_n を次のように定める.

X_1 を [0,1/2] で 1． それ以外は 0.
X_2 を [1/2,1] で 1． それ以外は 0．
X_3 を [0,1/4] で 1． それ以外は 0.
X_4 を [1/4,2/4] で 1. それ以外は 0.
X_5 を [2/4,3/4] で 1． それ以外は 0.
X_6 を [3/4,1] で 1．それ以外は 0.
X_7 を [0,1/8] で 1. それ以外は 0.
X_8 を [1/8,2/8] で 1. それ以外は 0.
...
もう書くの疲れた．

と以下同様にする．

X_n のイメージは, 徐々に 1 を取る範囲が狭くなっていき， 1を取る範囲が [0,1]をぐるぐる回る．
X_n は 0 には収束しない．
つまり， X_n は 0 概収束しない． ぐるぐる回るから．
しかし， X_n は 0 に確率収束する． 1の範囲がどんどん狭くなるから．

おしまい．