かわったランダムウォーク - 落書き、時々落学

次のような一次元ランダムウォークについて $t(>0)$ ステップ移動後の位置の平均値と分散を求めよ。位置 $0$ から出発し、1ステップ目では確率 $\alpha$ で位置 $1$ に確率 $(1-\alpha)$ で位置 $-1$ に移動する。 $n\geq 2$ に対しては、 $(n-1)$ ステップ目で正の向きに動いた場合、 $n$ ステップ目では正の向きへ確率 $\alpha$ 、負の向きへ確率 $(1-\alpha)$ で $1$ 進むものとする。また、 $(n-1)$ ステップ目で負の向きへ動いた場合、 $n$ ステップ目では負の向きへ確率 $\alpha$ 、正の向きへ確率 $(1-\alpha)$ で $1$ 進むものとする。ただし、 $0<\alpha<1$ である。

各 $i$ ステップでの変位を $X_i$ であらわす。 $n$ ステップ移動の位置の期待値 $E_n$ は
$E_n=E\left[\sum_{i=1}^{n}X_i\right] = E \left[E\left[\left.\sum_{i=1}^nX_i\right|X_1\right]\right]$
と表現できる。
ここで、
$E\left[\left.\sum_{i=1}^nX_i\right|X_1=1\right] = E\left[\sum_{i=1}^{n-1}X_i\right] +1$
$E\left[\left.\sum_{i=1}^nX_i\right|X_1=-1\right] = -E\left[\sum_{i=1}^{n-1}X_i\right] -1$
従って、次の漸化式が成り立つ。
$E_n=\alpha (E_{n-1}+1) + (1-\alpha)(-E_{n-1}-1)=(2\alpha -1)(E_n+1)$

この漸化式を変形して、
$E_n +\frac{2\alpha-1}{2(\alpha-1)} = (2\alpha -1)\left(E_{n-1}+\frac{2\alpha-1}{2(\alpha-1)}\right)$
これを解いて
$E_n = \frac{2\alpha-1}{2(\alpha-1)}\left((2\alpha-1)^n-1\right)$

$E\left[\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)^2\right]$ も同じように、漸化式によって表現することができる。
あとはとけばいいだけだが、計算が面倒だし、答えが複雑なんだよなー。

$Var\left[\sum_{i=1}^nX_i\right] = \frac{(2\alpha-1)-(2\alpha-1)^n}{2(\alpha-1)}+\frac{\alpha}{1-\alpha}n-\left(\frac{2\alpha-1}{2(\alpha-1)}\right)^2\left((2\alpha-1)^n-1\right)^2$

とりあえず $\alpha=\frac 1 2$ のときはあっていることを確認した。
次は $\alpha \to 1$ なんだけど、式が複雑で途中で挫折（やる気喪失）した。
あってるっぽいんだけどね。間違ってても不思議ではない、計算ミス大いにあり得る。